Geometría Medieval

Por motivos prácticos, la Geometría Clásica, heredada de los agrimensores egipcios que la aprendieron a su vez de los antiguos sumerios, emplea únicamente la regla y el compás. Una regla lisa, sin marcas de medida, con un sólo canto y un compás que traza arcos de circunferencia entre puntos previamente hallados, pero no transporta medidas.

Los problemas constructivos que el geómetra debía solucionar con esta Geometría eran muy variados. Desde unir dos puntos por medio de un segmento y hallar un punto equidistante de ambos, contenido o exterior a los mismos; lo que, en consecuencia, implicaba el conocimiento de las propiedades de la Mediatriz, que podía transformarse en Bisectriz cuando se trataba de hallar puntos equidistantes de dos rectas concurrentes (ángulo). Ambos conceptos se podían ampliar, además, a la división y trisección del ángulo recto, y el trazar rectas perpendiculares o paralelas entre sí. Thales de Mileto descubrió un teorema que permitía la división proporcional de segmentos; pero tuvo que esperarse a la llegada de la Geometría axiomática de Euclides para que esos incipientes procedimientos dieran sus frutos.

¿Cómo se entendían y aplicaban en la Edad Media conceptos tan básicos como dimensión, proporción y simetría; igualdad, equivalencia o semejanza?

Para la mentalidad medieval, desconectada de los saberes clásicos, los trazados se hacían a soga; es decir, tensando una cuerda por sus extremos y golpeando con ella la superficie  para dejar su impronta. La verticalidad, sujetando la cuerda por un extremo y tensarla con un peso al otro extremo. Los arcos, fijando un extremo de la misma en un punto y moviendo el otro extremo alrededor del primero manteniendo tensada la cuerda. Una cónica, fijando los dos extremos de la cuerda que se tensaba desplazando el instrumento de marcado por el interior de la misma. Es decir, el geómetra medieval utilizaba procedimientos propios de un agrimensor, [ilustración 2.1].

No necesitaba abstraer la forma de los objetos, ni averiguar los procedimientos para reproducir su forma de modo objetivo. De ahí, que el cantero que accedía al grado de magister debía demostrar conocimientos geométricos de cierta abstracción. No se planteaba la naturaleza del espacio, ni si la dimensión de la forma era, o no, la medida del espacio. Para él, el espacio era “todo aquello” exterior a él, y la dimensión, las veces que cabía su vara de medir (el canon que aplicaba a todo lo relativo a la obra) en el objeto. La simetría era una correspondencia en igualdad entre las partes respecto de un punto, una recta o un plano. De este modo, si tomaba como límite comparativo un muro diáfano que cortase en dos partes iguales al edificio, se vería cómo los elementos de una mitad se correspondían en posición, tamaño y disposición, con los elementos de la otra.

La dimensión sólo calcula el tamaño del objeto y del conjunto, mediante relaciones entre dos partes de la misma. Cuando lo hacía podía resultar que fueran iguales en forma y tamaño, semejantes (iguales formas, diferentes tamaños) o equivalentes (diferentes formas, iguales superficies). Llegar a abstraer que esta comparación se podía realizar mediante líneas paralelas que unían puntos de una y otra parte, y llegar así a aplicar el teorema de Thales de Mileto, era el objetivo ue perseguía el maestro hacia su ayudante porque esta capacidad de espacialización le daba acceso a levantar planos bidimensionales o imaginarse el edificio construido.

La proporción es semejanza cuando entre ambos objetos exista una razón; es decir, el menor está contenido en el mayor un determinado número de veces. La razón puede ser un número entero, fraccionario o irracional. Los primitivos buscaban siempre, una razón irracional; preferentemente fundamentadas en el número phi (sección áurea o divina proporción); o elegía un elemento-clave, alrededor del cual giraría todo el edificio. Era lo que se denominaba en el argot constructivo, la clave de bóveda: un número, una fórmula compleja, una habitación, una forma, el diámetro del fuste de una columna, etc.

«Se deben entender como proporciones las relaciones entre las partes y el todo, relaciones lógicas, necesarias y capaces de satisfacer al mismo tiempo a la razón y a los ojos

En el pasado, la razón armónica se basaba en razones matemáticas, fundamentadas en el número de oro (f), el número p o en otros números irracionales. Se decían herederos de maestros egipcios, griegos, romanos o musulmanes, y se ocultaban intencionadamente. Cuando alguna de estas claves se aplicaba a la construcción de la marca, se disfrazaba u ocultaba. De ahí que nos resulte tan complicado no ya descubrirla sino demostrar que se ha empleado ¿Seremos capaces de conocerla después de casi mil años estos trazados, estos modelos, estas instrucciones? Tratemos de acercarnos a la mentalidad medieval del cantero y averigüemos más sobre las marcas.

 

Triángulo Equilátero


Obsérvese que si tomamos un punto cualquiera de la superficie del papel [1] y trazamos un arco, todos los puntos del mismo están a igual distancia del mismo. Algo obvio, [ilustración 2.2]. Con la misma longitud de cuerda al radio anterior trazamos un contra-arco desde cualquier punto del arco trazado [2] que contendrá al centro [1] y se cortarán ambos en el punto [3], equidistante de [1] y [2] y, por ello, vértices del Triángulo Equilátero [123], [Ilustración 2.2].

El Triángulo Equilátero es un polígono regular, sus lados y ángulos son iguales entre sí. Puesto que la suma de los ángulos de un Triángulo es igual a dos rectos (90º + 90º = 180º), cada ángulo del equilátero es de 60º, (180º / 3 = 60º) [ilustración 2.3].

 

Además de estas interesantes propiedades del Triángulo que nos ha permitido su trazado a soga, descubrimos que las perpendiculares trazadas a los lados desde los vértices opuestos son alturas, medianas, mediatrices y bisectrices; con las propiedades que se conocen de cada una de ellas, [ilustración 2.3(1)]. Todas estas cevianas especiales se cortan en un punto también especial, O, que equidista de los lados y de los vértices, llamado centro del Triángulo, [ilustración 2.3(2)].

Este centro será también el centro de dos Circunferencias. Una interior, inscrita, tangente a los lados; otra exterior, circunscrita, que pasa por los vértices. Obsérvese que el radio de la Circunferencia menor es ? la longitud de la mediana; y el de la Circunferencia mayor, en cambio, ?. De este modo, las cevianas del Triángulo Equilátero podrán dividirse en tres partes iguales y, cada una de esas partes, ser centro de un Círculo con propiedades concretas. La mediana A1, por ejemplo, contiene a los puntos N y O, equidistantes entre sí con los extremos A y 1, siendo O el centro de la Circunferencia circunscrita (que pasa por los vértices), el punto N, centro de otra Circunferencia que contiene al centro y al vértice; y, finalmente, el vértice A, centro de una Circunferencia que, de haberse trazado en la [ilustración 2.4], contendría al punto interior N. También se podrán trazar las Circunferencias correspondientes a las dos medianas restantes.

Estas cevianas especiales dividen al Triángulo en dos porciones simétricas, que, por ser perpendiculares a los lados, serán Triángulos Rectángulos. Así, la mediana A1, lo divide en los Triángulos Rectángulos A1C y A1B; la B2, en los B2A y B2C; y, la C3, en los C3A y C3B. En todos ellos, los lados serán hipotenusas; las medianas, catetos mayores; y los semilados, catetos menores. En consecuencia, deducimos la siguiente propiedad: Todo Triángulo Equilátero contiene hasta seis Triángulos Rectángulos cuyos lados están en una proporción 3:5:6

En la [ilustración 2.4], el Triángulo A1C es Rectángulo; en donde, la hipotenusa, AC, es el lado del Triángulo Equilátero de partida (de valor 6 unidades), el cateto 1C es igual al semilado, AC/2 = BC/2 = 3 unidades; y el cateto A1, igual a la raíz cuadrada de raíz cuadrada de veinticinco (v25), concretando la relación proporcional vista anteriormente.


Aún se puede operar de otro modo [ilustración 2.5]. Llévese sobre la hipotenusa AC, el valor del cateto AM (haciendo centro en A y con radio AM se corta a la hipotenusa AC en el punto 1”; de modo que A1”= AM); de manera que 1”C es el segmento que le sobra a la hipotenusa al relacionarla con el cateto. Al llevar la porción 1”C sobre el cateto MC se comprueba que es un segmento clave de relación de los tres lados.  Así, la porción 1”C=1‘C, y está contenida tres veces en el cateto MC; cuatro veces, en el cateto MA; y, por deducción, estará contenido cinco veces en la hipotenusa AC. De todo lo anterior se puede extraer la siguiente conclusión: Los Triángulos Rectángulos contenidos en todo Triángulo Equilátero son gálibos, o Pitagóricos, y están en una relación (3:5:6).

 

Cuadrado primordial o Plano Básico


El Cuadrado es una de las tres formas que Pitágoras definió como básicas;. Las otras dos serían el Círculo y el Triángulo Equilátero. Habría una cuarta forma que completaría la cuarteta conceptual (cuatro elementos, cuatro direcciones, cuatro estados de la materia, etc.), que sería, naturalmente, el Pentágono regular. Huelga decir que el Pentágono regular era para la Escuela Pitagórica mucho más que una forma geométrica; era su razón de ser.

El Cuadrado primordial o Plano Básico es estático y germen de muchas figuras. Las posibilidades de relación proporcional son prácticamente infinitas; aunque, sólo unas pocas son susceptibles de utilidad como recurso proporcional, [ilustración 2.6].

Individualmente, las diagonales del cuadrado lo dividen en pares de Triángulos Rectángulos Isósceles, siendo su valor de v2. Tomadas a la vez, las dos diagonales lo dividen en cuatro Triángulos Rectángulos Isósceles de lados 1:v2/2:v2/2

Las mediatrices, una a una, lo dividen en dos Rectángulos de lados en relación 1:½; cuya diagonal (D1) tiene un valor de v5. Tomadas a la vez, las dos mediatrices lo dividen en cuatro Cuadrados de lado ½, cuyas diagonales tienen un valor de v2/2.

El punto O, centro del Cuadrado, es también punto de equilibrio o baricentro, y centro de las Circunferencias inscritas y circunscritas.

El punto M, de intersección de la diagonal del Cuadrado y del Rectángulo correspondiente es armónicamente asimétrico y punto áureo.

El cuadrado es germen de muchos Rectángulos, estáticos y dinámicos; dependiendo de si se aplican razones aritméticas o fraccionarias. La sencillez de su trazado pareja con la eficacia y armonía lograda. De ahí que se haya utilizado en todas las épocas. Así, la [ilustración 2.7] muestra tres procedimientos simples basados en el empleo de arcos de radios el lado o cualquiera de las diagonales del Cuadrado, y centro en cualquier vértice del mismo.

En la [ilustración 2.7(A)], el Rectángulo obtenido es de superficie menor al Cuadrado ABCD de partida, contiene al Triángulo Equilátero ATB y tiene una ratio 1:v3; puesto que la altura de todo Triángulo Equilátero de lado la unidad es v3. Obsérvese que su obtención es muy sencilla. Bastará trazar arcos con radio el lado del plano Básico, que se cortarán en el vértice M del equilátero, por el que pasará el lado del Rectángulo buscado.

La [ilustración 2.7(B)], muestra otros procedimientos de obtención de Rectángulos proporcionales, partiendo del Cuadrado. El centro O es el de intersección de las diagonales y medianas del mismo. El centro H es el de intersección de las diagonales del Rectángulo de superficie igual a la mitad del plano Básico; y T, es el pie de su mediana vertical. Con centro en T y en H y radios respectivos TD y HD, se concretan los puntos 3 y 4, por los que podrán pasar lados de Rectángulos armónicos De la misma manera, se podrán hacer centro en los mismos puntos anteriores, T y H, y con radios las distancias TM y HM, obtener los puntos 2 y 1, respectivamente, por los que podrán pasar también lados de Rectángulos armónicos.

La [ilustración 2.7(C)], muestra el procedimiento para concretar el punto M, sobre la diagonal. Los segmentos discontinuos paralelos a los lados que contienen a dicho punto M, determinarían sobre los lados puntos que permiten de nuevas divisiones de los mismos. Los Rectángulos así obtenidos guardan relaciones proporcionales con el plano Básico de partida, que podrían servir para trazados más complejos.

Otro procedimiento para obtener Rectángulos estáticos a partir del Cuadrado es el denominado método de partes, o aritmético. Está basado en los trazados contenidos en los escritos dejados por el boloñés Sebastiano Serlio, que trabajó en el estudio de Palladio; y, con posterioridad, recogidos en el Cesarianode Marco Vitrubio. Hemos tenido acceso a la edición española de su célebre De Architetttura. En la [ilustración 2.8] se muestran cuatro ejemplos de Rectángulos aritméticos. Los lados de los Planos Básicos, las ilustraciones 2.8(A) y 2.8(B), se han dividido en cuatro partes iguales. En el primero, se ha añadido por arriba una de esas partes, transformando el Cuadrado en un Rectángulo de ratio [5:4]. En el segundo, se han añadido dos partes, transformándolo en el Rectángulo de ratio [6:4]; o, lo que es lo mismo, [3:2] al reducir la fracción.

En la [ilustración 2.8(C) y 2.8(D)] los lados de ambos Planos Básicos se han dividido en tres partes iguales. En el primero, se ha añadido una de esas partes hasta transformar lo en el Rectángulo de ratio [4:3]; en el segundo, en cambio, se le han añadido dos partes, transformándolo en el de ratio [5:3].

El Rectángulo aritmético que expone la [ilustración 2.8(E)] tiene de ratio [2:1]; y, como se puede apreciar, se han realizado en él algunas operaciones que muestran las posibilidades de obtención de nuevas relaciones, empleando las diagonales v2, v3 y v5. Los puntos interiores H y T, pueden utilizarse como puntos-contenedores de lados de posibles Rectángulos. Obsérvese, no obstante, la posición del punto N, punto-medio del lado superior DC, de intersección con el arco de centro el vértice B y radio la diagonal v5, del Rectángulo equivalente a la mitad de la superficie total del plano Básico de partida.

El Rectángulo de la [ilustración 2.8(F)] es irracional y de ratio [1 : v2]; en el que uno de los lados es igual a la diagonal del Plano Básico.

La [ilustración 2.8(G)] muestra una manera curiosa de trazado de un Rectángulo fi (f) de ratio [1 : 1+v5/2], debido a Palladio. Se divide el Plano Básico en dos Rectángulos iguales. Tomada la diagonal de uno de ellos y llevada sobre la prolongación de uno de los lados, se obtendrá el lado de un Rectángulo, de longitud [½ + v5] ó [1 + v5/2]; y, en consecuencia, un Rectángulo áureo.

Una vez obtenido el Rectángulo deseado, recurriendo a algún procedimiento de los vistos hasta ahora, se pueden concretar puntos interiores que cumplan leyes de armonía o, simplemente, relacionen los lados del mismo. Una alternativa sería unir puntos notables de los lados del Rectángulo (puntos-vértices, puntos de medianas o puntos obtenidos directamente por arcos de Círculo, etc) y obligarlos a que se corten. Bastará trazar paralelas a los lados por estos nuevos puntos interiores de intersección segmentos de relación para obtener una retícula de relación. Estos segmentos darán, a su vez, nuevos puntos en los lados que podrán emplearse como extremos de otros, en una actividad infinita, como se expone en [ilustración 2.8(H)]. No es normal el empleo de tantas líneas auxiliares durante el trazado de plantas. El maestro sabía, de antemano incluso, lo que quería y no especulaba con líneas, sino que iba directamente a satisfacer su interés. No obstante, el procedimiento anteriormente indicado es una de tantas posibilidades disponibles, que se utilizará o no, dependiendo de las necesidades.

En el ejemplo expuesto, se han tomado como puntos de referencia, las divisiones ?, ?, ? y 5/5 del lado superior y los vértices del Rectángulo; se han unido entre ellos del modo como se explica gráficamente, hasta concretar los puntos interiores marcados. Podía haberse utilizado otro criterio de unión, con resultados diferentes aunque igualmente válidos. En cualquiera de los casos, dada la simplicidad de empleo de la fórmula permite libertad absoluta al arquitecto, teniendo la seguridad de estar relacionando armoniosamente las partes del Rectángulo con el todo; que, para el caso de tratarse de la nave de un edificio, obtendría con ellos divisiones que concretarían situaciones de huecos, elementos constructivos o decorativos de cierta relevancia. Definamos en el apartado siguiente algunos de estos Rectángulos irracionales vistos aquí y conozcamos más sobre ellos.

 

Rectángulos irracionales


 

Rectángulo áureo


La diagonal del Rectángulo obtenido por la división de un cuadrado en dos partes iguales mide, indistintamente, v5 ó v5/2; dependiendo de si se toma como medidas 1 y 2 partes, ó 1 y ½ partes.

En la [ilustración 2.9] se han tomado las de esta última, resultando v5/2. Al llevar esta longitud sobre la prolongación del lado de la base del cuadrado dado ANMD, se obtiene el punto B; de modo que, al lado AB es igual a [v5/2 + ½ = (1 + v5)/2 = 1,618];

Siendo el Rectángulo ABCD, áureo por tener como lados 1 y 1,618.

El trazado expuesto en la [ilustración 2.10] resuelve el problema de construir un Rectángulo áureo partiendo de un cuadrado, ANMD, o de un Círculo de centro O y radio MN. Si se parte del Círculo, bastará trazar la tangente AN por el extremo N del diámetro MN y llevar sobre ella la longitud MN, obteniéndose el extremo A, desde el que se traza la perpendicular AO que corta al Círculo en los puntos 1 y 2. De este modo, las longitudes  A1 = 0‘618 y A2 = 1,618

Obteniéndose los Rectángulos AB’C’D y ABCD; ambos, áureos.

Si se parte del cuadrado ANMD, se siguen los pasos expuestos en la [ilustración 2.10(2)]. Obtenido el punto medio del lado vertical del mismo, centro del Círculo de diámetro el mismo lado [ilustración 2.10(3)], y unido el vértice más alejado de la base con dicho punto medio [ilustración 2.10(4)], se obtienen los puntos 1 y 2; que, como se ha visto en el procedimiento anterior, determinan los segmentos áureos y, en consecuencia, los Rectángulos buscados [ilustración 2.10(5)].

 

Rectángulo vesicular o egipcio


El Rectángulo vesicular se conoce porque los hebreos lo utilizaron como razón proporcional con la que construyeron sus principales símbolos: El Arca de la Alianza, un paralelepípedo cuya base rectangular medía 11,2 m x 6,9 m; elaborado, como se sabe con madera de acacia y recubierto con planchas de oro. También utilizaron las proporciones del Rectángulo vesicular para construir el primer Tabernáculo, de forma rectangular y medidas de 50 x 100 codos; es decir, dos cuadrados adosados de 50 codos de lado cada uno, [ilustración 2.11]; levantado mediante tablas verticales de madera de acacia, recubiertas de oro puro: 20 tablas al lado norte, 20 tablas al lado sur, 6 tablas al lado oeste y 6 tablas al este.

Estas mismas medidas se utilizarán en la construcción del mítico Templo de Salomón, en Jerusalén, y que la Cristiandad imitará para levantar las iglesias y Catedrales.

«La Casa que el rey Salomón construyó para el Señor tenía treinta metros de largo, veinte de ancho y quince de alto.» (I Reyes 6: 2)

El Rectángulo vesicular o egipcio es de ratio 2:3 y puede descomponerse en seis Planos Básicos, tres Rectángulos de ratio 1:2; dos Rectángulos de ratio 1:3; o dos Rectángulos 1‘5:2; lo que permite muchos trazados armónicos. Uno de ellos, el más conocido, el de la vesícula piscis, compuesta por dos Círculos que contienen los centros respectivos; posibilitando multitud de trazados auxiliares.

Las medidas dadas por Yahvé para el templo erigido en Jerusalén, coinciden proporcionalmente con las del Rectángulo egipcio. Su disposición permite muchas relaciones. Nosotros hemos encontrado algunas más.

Obsérvese en la [ilustración 2.12] que el segmento que une los vértices del Rectángulo con el centro del Círculo tangente interior más alejado corta al lado menor en puntos que equidistan del vértice opuesto y del punto medio del lado correspondiente; de tal modo, que divide al lado en cuatro partes iguales. Es decir, la recta que parte del vértice C y contiene al centro O1 (el más alejado del mismo) corta al lado de la base, AB, en un punto ¼ que equidista de A y del punto medio ½. Obviamente, idéntico resultado se obtendría si se une el vértice D con O1; o los vértices A ó B con O2.

La estructura del Rectángulo egipcio permite la obtención directa del número áureo.

 


Bastará seguir el trazado visto en el apartado anterior [ilustración 2.11], y considerar al cuadrado TNCD, como el plano Básico de partida y el Círculo de centro O1.

La recta que une el vértice C con O1, corta al Círculo en los puntos 0,618 y 1,618, siendo medias proporcionales de los lados del Rectángulo egipcio.

Al llevar la primera longitud 0‘618 sobre los lados del ángulo de vértice C, se concretarán los puntos T1 y T2 que dependen de otro T, conteniendo a su paso a puntos característicos del Rectángulo egipcio, Q y O1. El punto Q ya se obtuvo anteriormente por el concurso del segmento DO1.

 

Rectángulo cordobés


Recibe el nombre por su utilización en la Mezquita de Córdoba. Su trazado puede partir de un plano Básico, AD1C1B1, [ilustración 2.13], o de un segmento tomado como lado mayor del mismo.

Cuando se parte del plano Básico, se tomada el arco de radio la diagonal del cuadrado dado, AC1, y se llevará sobre la prolongación del lado AB1, que lo cortará en el punto B, perteneciente ya al Rectángulo cordobés buscado. Tomando la longitud BC1 como radio de un nuevo arco, se obtendrá vértice C sobre la paralela al lado superior del plano Básico por B. Sólo restará llevar la perpendicular CD sobre la prolongación del lado de la base para resolver el trazado.

 

Cuando se parte de un segmento, considerado como lado mayor del Rectángulo, el trazado se auxiliará de la diagonal del cuadrado que, como se sabe, es bisectriz del ángulo del mismo, y mide 45º.

De este modo, el arco de centro uno de los extremos del segmento y radio su longitud cortará a la diagonal del cuadrado en el punto C1. A partir de él gira el resto del trazado, que se resolverá mediante perpendiculares y paralelas al segmento dado y siguiendo la construcción del trazado adjunto.

 

Rectángulo Pi [p]


Es un Rectángulo que tiene como lados la unidad y el valor de p, igual a 3,1416; excesivamente alargado; razón por la que no suele utilizarse. Se menciona aquí por por mera curiosidad, demostrando que la formación de Rectángulos sólo tiene los límites que marca la imaginación del geómetra.  Es improbable que fuera una construcción medieval porque los procedimientos de rectificación de la la Circunferencia fueron aproximados hasta el siglo XVIII.

En la [ilustración 2.14] el Rectángulo tiene de lados el radio (r) y la rectificación de media Circunferencia, siguiendo el método de Kochavsky. Su construcción parte de la longitud del diámetro NM de la Circunferencia de centro O es NM; el ángulo de 30º trazado por O, corta a la perpendicular a NM por M, en el punto J, desde el que se toman tres veces el radio, concretando el extremo B. El segmento BN es la rectificación de la semi-circunferenica. Bastará llevar esta longitud sobre MB y hallar el vértice A, perteneciente ya al Rectángulo buscado.

 

Rectángulos √2, √3 y √5


La diagonal de un Cuadrado es igual a la raíz cuadrada de dos (√2), por esta razón, se podrá utilizar como lado del Rectángulo irracional denominado 2, [ilustración 2.15], AB1C1D. De igual modo, la diagonal del Rectángulo 2, es raíz cuadrada de tres (3); por eso se podrá utilizar para trazarlo, AB2C2D, sin que revista más complicación.

La diagonal del Rectángulo 3, es 2; luego el Rectángulo AB3C3D, es doble del Cuadrado de partida, ABCD. La diagonal de este Rectángulo de ratio 1:2 [Rectángulo vesicular o egipcio, estudiado anteriormente] es raíz cuadrada de cinco; por eso se podrá utilizar para trazar el Rectángulo 5, AB4C4D, y resolver el problema. 

 

Pentágono regular


Es un polígono de cinco lados iguales entre sí. El convexo puede contener hasta tres tipos de Triángulos isósceles: el AOB, que tiene iguales los lados del convexo; el ADB, que tiene iguales los radios de la Circunferencia que lo inscribe; y, finalmente, el DBC, que tiene iguales las apotemas, [ilustración 2.16].

El Pentágono regular se considera un polígono asimétrico. Para que lo sea, los diámetros deben tener por extremos dos vértices opuestos del mismo. En el Pentágono, los diámetros que contienen vértices del polígono cortan ortogonalmente a los lados opuestos a los mismos; dividiendo, de este modo, a los Triángulos isósceles tipo en dos partes iguales. Estos diámetros, además, serán alturas, mediatrices, bisectrices y medianas del vértice correspondiente.

El Pentágono regular estrellado es único y continuo; es decir, al unir los vértices no-consecutivos, y recorrer todo el perímetro del convexo, se acaba por el mismo vértice que se comenzó sin levantar el lápiz del papel, [ilustración 2.17]. El ángulo interno del convexo es de 72º, y el del estrellado, de 22º30’.


Los lados del estrellado se cortan entre ellos según un nuevo Pentágono estrellado menor, denominado núcleo, que posee dos propiedades: Su orientación es invertida respecto del de partida; y guarda una relación proporcional con el mayor de aproximadamente 0,618, el numero phi. Es decir, las porciones de lados del estrellado se cortan según división áurea. El segmento AC1 es 0,618 veces el lado del convexo; y, la porción C1C, 1,618 veces el lado del convexo.

Las relaciones interiores que pueden establecerse en el interior de un plano Básico son increíbles y muy provechosas, como se ha podido comprobar en nuestro anterior trabajo.

En la [ilustración 2.18] se muestra cómo una de estas relaciones del Cuadrado primordial permite construir un Pentágono regular convexo, partiendo de un Cuadrado de lado el mismo que el del Pentágono que se desea construir. El trazado se basa en hallar el centro de la Circunferencia que circunscribe al polígono. Así, con centro en N, pie de la mediatriz del cuadrado ABCD, de lado dado, se traza el arco de Circunferencia que contiene a M y corta a los lados laterales en los puntos E y E’. De igual manera, con centro en E y radio EN, se traza el arco que corta al lado opuesto en el punto F; estableciéndose la relación EF que corta a la Mediatriz en el punto 5, centro de las Circunferencia que circunscribe al Pentágono regular correspondiente; que podrá trazarse recurriendo a uno cualquiera de los procedimientos conocidos.

El Pentágono regular estrellado posee un sólo Rectángulo interior que pueda utilizarse como base estructural de la planta de un edificio sagrado, el que tiene por vértices los puntos D y C y contiene al A, superior. Los Círculos de centro O1 y O2 son tangentes a tres de los lados del mismo y se cortan según un segmento que contiene a M, centro del Rectángulo obviamente, [ilustración 2.19]. La Circunferencia de centro O1 y tangente interior al Círculo que circunscribe al polígono no tiene otra característica de relación; al igual que los puntos interiores 1, 2, 3, 4 y O1, que pueden ser utilizados como referentes.

Finalmente, las rectas que conforman la cuadrícula-base del Pentágono regular estrellado continuo pasan por los vértices A, E, B, D y C, tanto verticales como horizontales; y por los puntos interiores donde se cortan os lados del estrellado. No es una cuadrícula con posibilidades para formar parte de la estructura genérica de una planta de edificio por ofrecer pocas variantes. Es una cuadrícula que podría prestarse más bien como estructura de pequeños detalles constructivos, integrados en una estructura mayor, más global.

Empleando los procedimientos simples anteriores se puede trazar casi cualquier polígono, regular e irregular, partiendo del Triángulo Equilátero y del Cuadrado; y, en consecuencia, conocer las relaciones proporcionales entre sus elementos.

En la Escuela Pitagórica, tan dados al simbolismo del número, sólo consideraban figuras perfectas al Triángulo Equilátero, contorno de la Tetratkis: Sus lados están compuestos por los vértices y el centro que, a su vez, es pie de la Altura, Mediana, Mediatriz y Bisectriz; el Círculo, desarrollo armónico y completo del punto-germen; y el Cuadrado material.

Muchas marcas de canteros recurren a la forma del Pentágono estrellado. La dificultad de su construcción deriva en conocer la altura del vértice superior del polígono que es la altura de un Triángulo isósceles que es media proporcional entre los lados del mismo y en la Geometría Clásica los procedimientos de trazados quedan limitados, como se ha visto, a la regla y al compás. La construcción que se conoce es aproximada, y es la que emplean nuestros estudiantes que poseen limitados conocimientos geométricos. Es, por ello, una construcción inexacta pero de trazado simple y sencillo. Consiste en relacionar sus lados con el Cuadrado y el Hexágono regular.

En la [ilustración 2.20], la Circunferencia primordial, orientada parcialmente servirá para explicar lo que decimos. Tomando el extremo superior de la dirección vertical, se traza el arco de radio idéntico al de la Circunferencia de partida, dividiéndola en seis partes iguales, como sabemos; aunque, en la ilustración no se ha obtenido más que el primer arco divisor.

Pues bien, para trazar el Pentágono semirregular estrellado, tal como hemos descubierto en muchas marcas de cantero, se unen los puntos A-B-C-D y E; de manera que los dos inferiores (B y D) corresponden a la división de la Circunferencia en ocho partes, y los dos superiores (D y C)a la división de la Circunferencia en seis.

Las construcciones clásicas del Pentágono regular dado el lado son aproximadas y se basan en construir un Triángulo Isósceles de ángulo opuesto 36º. Un Triángulo de estas características tiene una longitud de altura principal igual a una vez y media el lado de la base. Por ello, se lleva esta distancia, hasta obtener el vértice N; de modo que el Triángulo obtenido ANB tiene la propiedad de poseer el ángulo opuesto a la base de 36º.

Si esto es así, y es isósceles, los ángulos de la base son iguales y de 108º. Bastará prolongar los lados iguales del isósceles para tener la inclinación de los lados del Pentágono regular, con la seguridad de que los ángulos de la base serán de 72º, en suplementario de 108º. Bastará llevar el lado del Pentágono dado para concretar el Polígono regular. Naturalmente, esta construcción era complicada para el cantero que prefería el trazado aproximado visto en el párrafo anterior; pues debía conocer la relación proporcional de la diagonal del Rectángulo de lados 1 y ½, equivalente a la 5/2 (raíz cuadrada de cinco, dividido por dos); ó v5, cuando consideramos el Rectángulo de lados en la relación 1 y 2. Por tanto, se halla el punto medio n del lado de la base, y levantada la perpendicular NM, se lleva la distancia N-M a ambos lados laterales, obteniéndose el punto E. Las distancias E-N y E-F son idénticas; de ahí que el segmento EF corte a la perpendicular del inicio en el centro 5 de la Circunferencia que circunscribe al Pentágono regular cuyo lado es idéntico al del Cuadrado de partida.

La construcción más exacta y la que se emplea en la actualidad, se basa en el conocimiento de Potencia de un punto respecto de una Circunferencia. En la [ilustración 2.21], se ha partido del lado A’B. Con diámetro el lado dado se ha trazado la Circunferencia de centro O.

Obsérvese que este centro está en el punto medio del segmento perpendicular a dicho lado por su extremo A’, siendo tangente al mismo. La perpendicular a la Circunferencia O desde el punto exterior B, el otro extremo del lado, establece una relación de media proporcional muy interesante.

Por Potencia se tendra que A’-B2 = B-A • B-N [que se puede expresar como proporción: B-A/A’-B = A’B/B-N; siendo A’-B el segmento que hace de medio proporcional). De este modo, averiguamos la altura del Triángulo isósceles de ángulo opuesto a la base de 36º, y, en consecuencia, la construcción exacta del Pentágono regular.

Puesto que la longitud de la perpendicular a la Circunferencia por el extremo B está en la misma relación proporcional, se puede construir el Pentágono regular considerando el lado del anterior como diagonal del nuevo Pentágono regular. Ambas exigen, ademas, un detallado planteamiento formal que, en el pasado, se aprendía a pie de obra, atendiendo a su transmisión oral.

En la [ilustración 2.22] se expone la construcción aproximada del Pentágono regular convexo. Se parte del lado del Pentágono a la que se halla su mediatriz; a partir de la cual (pie M de la perpendicular al segmento-lado AB) se transportan una vez y media el mismo lado, concretándose el punto ½. Se une el punto ½ con los extremos del lado de partida. Sobre las prolongaciones de los lados 1/2A y 1/2B. Obsérvese que el Triángulo isósceles obtenido [1/2AB] tiene por ángulo opuesto a la base AB el complementario del ángulo del Pentágono convexo que se desea trazar. A partir de aquí la construcción es sencilla.

La cuadrícula del Pentágono regular estrellado se obtiene haciendo pasar rectas horizontales y verticales por los principales puntos de intersección de los lados; es decir, diez puntos básicos: los vértices del Polígono estrellado de partida y el convexo interior, su núcleo.

La utilidad de la cuadrícula es obvia: Permite estructurar un espacio plano mediante cuadratines armónicos que el maestro arquitecto puede seleccionar a conveniencia de la obra. Obsérvese que el Círculo primordial se ha quedado fuera de los límites del Pentágono.

La disposición estrellada del Pentágono sugiere la idea del microcosmos si sabemos colocar sobre ella los signos representativos La estrella, formada por estos elementos principales, es típicamente el paradigma microscópico, que resume la acción del hombre en el Macrocosmo, [ilustración 2.23].

Se conoce la importancia del péntaculo en el ceremonial teúrgico. Hay que anotar aquí que el pentagrama formado no está invertido, lo que indicaría pasividad, signo de que la punta está hacia arriba (norte); el hombre actuando sobre la materia. Este pentagrama con la punta hacia arriba es un símbolo de acción, como el signo de unión de los discípulos de Pitágoras, que representa a un hombre con los brazos en cruz, al contrario del pentagrama invertido con las 2 puntas hacia arriba, símbolo pasivo, que representa una "cabeza de chivo", principio de negación.

La piedra de comando corresponde a Júpiter, el Gran Señor del Cielo, el que forja los jefes. La encina es simbolizada por Venus, el astro similar a la Afrodita de los griegos, que efectúa la unión entre los mundos.

El Sol, materializado por el menhir, es el punto de partida del sistema. Marte es el Eso de los galos, astro que crea la división, la piedra del ara, el dolmen de la primera piedra de base. Saturno, inherente al maleficio, es el segundo dolmen de la base, formando así la pareja de la santificación, el equilibrio de la mesa de expresión del menhir. Las dos piedras de equilibrio son, además, Mercurio, el intelecto, y la Luna, la intuición; es decir, el razonamiento y el impulso. No se trata aquí de coincidencias, como tampoco el caso de la disposición de elementos que componen un aparato de radio que sabe leer las ondas con las que podemos oír lo que se comenta en el Estudio. Hace siglos, esto habría sido calificado de mágico y nuestros físicos tenidos por brujos.

Si los términos han cambiado, ¿por qué disgustarse por estos vocablos? No existiendo ya la alquimia, ¿no es la brujería una hiperquímica? Donde muere la física, la magia comienza.

No hay nada sobrenatural. Existe lo supranormal, cuando hablemos de fluidos, vibraciones, rayos, lo cual no se puede ya negar, como se podía hacer dos o tres siglos antes. Estamos en la aurora de una Nueva Era, donde el saber antiguo vuelve a tomar su puesto. Ojalá puedan los hombres, con su espíritu abierto, ayudar a los investigadores serios a volver a conquistar las riquezas espirituales de otrora.

 

Hexágono


El Hexágono regular es un polígono de seis lados iguales entre sí, simétrico y susceptible de dividirse en seis Triángulos equiláteros interiores, obtenidos por el concurso de sus tres ejes de simetría. Esta particularidad, permite establecer múltiples relaciones internas y el haberse utilizado como forma global de partida de muchas plantes de recintos sagrados, [ilustración 2.25]. Los seis ángulos interiores de polígono convexo es de 120° y el del estrellado de 60°. Las apotemas contienen al centro y son perpendiculares a los lados opuestos por sus puntos medios; formando ángulos de 30° con los ejes.

El Hexágono estrellado es discontinuo y sus lados se cortan entre sí según porciones iguales; de modo que, el núcleo es un tercio el de partida.

Al combinarse un hexágono convexo con su estrellado, los ángulos se conjugan según 30°. Obsérvese la [ilustración 2.26], la horizontal trazada por el vértice inferior determina tres ángulos iguales a 30°, que completarían el de noventa que forma el eje vertical con la línea de base. De este modo, se convierte en uno de los polígonos más regulares.

El punto M, en el punto medio del lado FB del estrellado, es centro de una Circunferencia que contiene al centro del polígono y al vértice A; estableciéndose que los lados del Hexágono estrellado dividen al eje en cuatro partes iguales. De la misma manera, estos lados dividen a las apotemas del convexo correspondiente en seis partes iguales, como lo demuestran las Circunferencias de centros O1, tangente interior al lado FE; la O2, tangente interior al lado BC; y la O, tangente a las anteriores.

El Hexágono regular estrellado posee un sólo Rectángulo interior [ABNE] que puede utilizarse como base estructural como planta de edificio sagrado, el que contiene a los vértices A y B, extremos de su eje vertical y de lados paralelos y perpendiculares al mismo.

Los Círculos de centro en O y radios convenientes, serán tangente al núcleo del Hexágono y cortará a los lados del mismo, respectivamente, [ilustración 2.27]. Los pares de lados paralelos de todo hexágono regular estrellado y los del convexo comprendidos, forman un Rectángulo ECBF, de ratio 1:2 5, con nuevas posibilidades de análisis y relación geométricos.

Finalmente, la cuadrícula-base del Hexágono regular estrellado discontinuo está formada por muy pocas rectas; las que contienen a los extremos del eje principal, A y D, horizontales y vertical; las que contienen a los pares de vértice F-B, E-C, y F-E, B-C [ilustración 2.28]. Como se veía para la cuadrícula del pentágono regular estrellado, no es esta una cuadrícula con muchas posibilidades para formar parte de la estructura genérica de una planta de edificio por ofrecer escasas variantes; aunque, como aquella, se presta como estructura de pequeños detalles constructivos, integrados en una estructura mayor, más global.


Si se sigue la magnífica obra de Honnecourt [Livre de Portraiture, Honnecourt, Villard; Mayo, 1642] se deduce que el maestro constructor y, previsiblemente, el maestro cantero, estaban preocupados en hallar las estructuras internas de los seres y objetos. Es un modo incipiente de abstracción de la forma natural que nos mueve a imaginar que las marcas de canteros no son más que expresiones abstractas de la misma. ¿Poseía el cantero esta capacidad de abstracción?

Y si así fuera, ¿la aplicaba en la concepción de su marca de identidad?

Ahora sabemos que algunas de estas retículas se emplearon como método de articulación y distribución de vanos interiores de edificios por su capacidad para crear espacio en orden y empatía. Es probable que al final de la Edad Media se empleaban recursos para controlar formalmente el edificio; y que estos recursos se basaban en una matriz geométrica.

Probablemente no sea más que un sistema simple de relación proporcional basado en analogías y semejanzas; pero, no dudamos de que ha resultado ser efectivo en el control del trazado completo.

 

 

 

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